1SpPC.11. Modélisation d’interactions fondamentales

Les élèves doivent savoir
  • Interpréter des expériences mettant en jeu l’interaction électrostatique.
  • Utiliser la loi de Coulomb.
  • Citer les analogies entre la loi de Coulomb et la loi d’interaction gravitationnelle.
  • Utiliser les expressions vectorielles :
    • de la force de gravitation et du champ de gravitation ;
    • de la force électrostatique et du champ électrostatique.
  • Caractériser localement une ligne de champ électrostatique ou de champ de gravitation.
  • Illustrer l’interaction électrostatique. Cartographier un champ électrostatique.

Mise en situation

La recherche de la structure de la matière et des lois qui la régisse sont les quêtes qui a définissent la Science (avec un grand S) depuis l’antiquité. Depuis Démocrite qui définit la notion d’atome au VIe siècle avant notre ère jusqu’au CERN (centre européen de recherche nucléaire) de Genève qui possède sans doute l’une des plus grosses machines jamais construite par l’Homme au service de la découverte des plus petits éléments de la matière, en passant par les alchimistes du Moyen Age qui voulaient trouver un moyen de transformer le plomb en or, nos connaissances dans ce domaine n’ont cessé d’évoluer.

On pourrait croire qu’il y a une certaine prétention à chercher à découvrir les grandes lois de l’Univers. Certains disent même que c’est une perte de temps et d’argent. Pourtant cette quête est aussi à l’origine de découvertes majeures qui ont totalement changé nos vies. Sans revenir à des exemples trop anciens, comme les travaux des alchimistes qui sont à l’origine de la découverte de la porcelaine par Johann Friedrich Böttger au XVIIIe siècle, on peut penser aux apports du CERN à la fin du XXe siècle : Internet, le développement des moyens de stockage sur disque dur et SSD, sans compter les apports en physique comme la confirmation de la force électrofaible, du boson de Higgs, etc… Cela démontre bien que la recherche de ce qui constitue la matière et ses lois est une recherche fondamentale qui est aussi l’un des plus puissant moteur, avec la recherche spatiale, pour des découvertes qui auront des retombées nombreuses en physique appliquée.

Du noyau atomique aux galaxies : échelle et forces fondamentales

La matière que nous connaissons au début du XXIe siècle est constituée d’une suite d’édifices de dimensions croissantes allant des particules fondamentales, les fermions, dont font partis les quarks qui se combinent entre eux pour former des hadrons, dont font partis les neutrons et les protons, à l’Univers observable qui s’étend en une bulle de plus de 13 milliards d’années lumières de diamètre (cf illustration ci-dessus).

Avec une telle variété de taille, on aurait pu penser que les forces qui régissent l’Univers étaient également très nombreuses et pourtant elles ne sont qu’au nombre de quatre : l’interaction gravitationnelle, l’interaction électromagnétique, l’interaction atomique forte et faible.

Interactions Puissance relative Rayon d’action Dépendance à la distance
Gravitation 10-40 infini 1/r2
Électromagnétique 10-2 infini 1/r2
Faible 10-8 10-18 m 1/r5 à 1/r7
Forte 1 2,5.10-15 m 1/r7

Interactions « forte » et « faible »

Ces deux interactions s’exercent à l’échelle du noyau atomique. L’interaction forte assure la cohésion des noyaux d’atomes, en agissant entre les nucléons, malgré le fait qu’ils contiennent des particules de même charge, les protons, qui auraient tendance à se repousser en raison de l’interaction électromagnétique. Mais comme l’indique son nom, l’interaction forte est bien plus puissante que cette dernière. Cette interaction ne s’exerce toutefois qu’à des distances très courtes puisqu’elle diminue très fortement avec la distance (voir le tableau ci-dessus).

L’interaction faible s’exerce à une portée encore plus faible que l’interaction forte puisqu’elle est cantonnée à la taille des nucléons. Elle explique certains types de radioactivité.

Interaction gravitationnelle

L’interaction gravitationnelle est une interaction attractive qui agit entre particules, ou objets, possédant une masse. Sa portée est illimitée mais son intensité diminue avec le carré de la distance.

L’interaction gravitationnelle prédomine à l’échelle astronomique et aucun moyen ne permet de la neutraliser. A la même échelle que les autres interactions c’est toutefois une interaction très faible (voir le tableau ci-dessus). Cela ne l’empêche pas d’être à l’origine de nombreux phénomènes qui rythment notre vie de tous les jours, comme les marées, la rotation de la Lune autour de la Terre ou celle de la Terre autour du Soleil. C’est également elle qui nous maintient sur notre planète et qui rend tout décollage de vaisseau spatial compliqué.

Nous ne savons pas par quel moyen cette action s’exerce et l’hypothèse actuelle est qu’une particule nommée « graviton » serait à son origine. Mais cette particule reste à découvrir. Dans sa théorie de la relativité générale, le physicien Albert Einstein explique la gravitation comme une déformation de l’espace-temps qui est due à des corps massifs, comme les étoiles ou les planètes qui le déformeraient, à la manière dont une boule de pétanque déformerait une toile tendue sur laquelle elle serait posée. Les objets qui s’approchent d’un astre massif auraient alors tendance à « rouler » vers celui-ci, ce qui expliquerait l’attraction des corps (cf illustration ci-dessous).

La valeur de la force de gravitation exercée par un objet A sur un autre objet B dépend de la masse de ces deux objets et de la distance d qui les sépare selon la relation de Newton :

F=\frac{G \times m_{A} \times m_{B}}{d^{2}}

Pour un objet situé à la surface de la Terre, cette relation peut donc s’écrire :

F=\frac{G \times m \times m_{T}}{R_{T}^{2}}

Unités :

  • F : Force de gravitation en Newton (N).
  • G : Constante universelle de la gravitation en Newton mètre carré par kilogramme au carré (N.m2.kg-2)
  • m : Masse de l’objet à la surface de la terre en kilogramme (kg).
  • mT : Masse de la Terre en kilogramme (kg).
  • RT : Rayon de la Terre en mètre (m)
  • La constante universelle de la gravitation vaut G = 6,67.10-11m2.kg-2

Cette force est dirigée vers le centre de la Terre.

Interaction électromagnétique

L’interaction électromagnétique est l’interaction la plus forte à notre échelle, de l’échelle atomique à celle de l’homme. Elle peut être attractive ou répulsive et agit entre les objets électriquement chargés et a une portée infinie qui diminue avec le carré de la distance. Elle est à l’origine de l’éclairage, de l’électricité, du fonctionnement des aimants, etc… C’est donc un élément essentiel de notre vie, d’autant que c’est elle qui explique la cohésion des atomes (noyau positif, électrons négatifs).

Cette interaction est aussi celle dont nous nous servons pour partager des informations avec les ondes électromagnétiques : radio, télévision, téléphone cellulaire… Cette interaction est véhiculée par les photons. En physique des particules, elle a été unifiée avec l’interaction faible dans le cadre de la théorie électrofaible.

Dans le chapitre suivant nous verrons l’interaction électrostatique décrite par la loi de Coulomb et qui représente l’un des aspects de l’interaction électromagnétique.

Frottements et charges électriques

Depuis l’antiquité, on sait qu’on peut frotter un morceau d’ambre avec une fourrure pour charger l’ambre et lui permettre d’attirer des objets légers. Expérience qui est répété avec plaisir par les enfants qui frottent des ballons de baudruche sur leurs cheveux afin d’attirer ceux-ci.

On montre aussi qu’il existe deux types de charges : positives et négatives :

Comme on peut le voir dans le schéma ci-dessus, deux charges de même signe se repoussent alors que deux charges de signe opposé s’attirent. Si les corps A et B on des charges identiques, les forces d’attractions \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{A} / \mathrm{B}} \text { et } \overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{B} / \mathrm{A}}  ont la même valeur et la même direction. Leur sens va dépendre du signe des charges qA et qB.

Ces charges sont égales à un multiple de la charge élémentaire e = 1,602 ×10-19 C (Coulomb : unité internationale de la charge électrique).

Loi de Coulomb

Si on assimile les corps A et B à des points (corps ponctuels), les forces électrostatiques entre ces corps obéissent à la loi de Coulomb :

F_{A / B}=F_{B / A}=k \times \frac{\left|q_{A} \times q_{B}\right|}{d^{2}}

Unités :

  • FA/B et FB/A : Valeur de la force électrostatique en newton (N)
  • k : Constante de Coulomb : k = 9,0 × 109m2.C-2
  • qA et qB : Charge électrique en Coulomb (C)
  • d : distance entre les deux points en mètre (m)

Nous voyons que l’intensité de cette forme d’attraction (ou de répulsion) diminue avec le carré de la distance.

Champs et forces

Nous sommes sans cesse entourés de champs et de forces et nous baignons même dedans. Il ne s’agit là ni d’un retour à la campagne, ni des champs de force des films de science-fiction, mais simplement des champs électromagnétiques qui nous entourent et servent votre quotidien : radio, télévision, téléphonie, micro-ondes, champs magnétiques des aimants, lumière…

Introduite au XVIIIe siècle, la notion de champs est désormais utilisée pour définir aussi bien le fonctionnement de nos communications, de la gravitation ou du champ magnétique terrestre, que pour décrire des phénomènes à grande échelle à partir d’un grand nombre de données ponctuelles, comme le font les météorologues ou les spécialistes de l’écoulement des fluides.

Découverte des champs

La notion de champ en physique apparaît au milieu du XVIIIe siècle avec les travaux du mathématicien suisse Leonhard Euler dans le cadre de ses études sur l’écoulement des fluides (avec des applications en circulation sanguine, hydraulique, aérodynamique…). Il attribue une vitesse d’écoulement à chaque point du fluide, ce qui donne un champ de vitesse. La vitesse étant décrite par un vecteur (direction, sens et grandeur), l’écoulement d’un fluide est donc décrit par un champ vectoriel.

La notion de champ sera étendue à l’électrostatique, l’étude des forces électriques, au cours des XVIIIe et XIXe siècles avec les travaux du physicien français Charles-Augustin Coulomb et de l’anglais Michael Faraday. Le premier détermine que la force électrostatique exercée par un corps chargé sur un autre dépend de la valeur des charges qu’ils possèdent et de la distance qui les sépare. M. Faraday étend ce concept à l’ensemble de l’espace qui entoure une charge et définit le champ vectoriel des forces qui s’exercent autour d’une charge ponctuelle.

Dans la seconde moitié du XIXe siècle, le physicien écossais James Clerk Maxwell étend le concept de champ aux phénomènes magnétiques et réunit ces deux concepts dans ses équations de l’électromagnétisme en démontrant que ces champs, électriques et magnétiques, se propagent dans l’espace sous formes d’onde à la vitesse de la lumière. Ses découvertes vont ouvrir la voie aux découvertes d’Einstein sur la relativité restreinte.

Des champs autour de nous

Que sont donc ces « champs » dont nous parlons ? La notion est assez simple, surtout si l’on se base sur notre quotidien : un champ est un ensemble de « valeurs » ou de « vecteurs » situé dans l’espace. C’est donc une sorte de cartographie de valeurs ou de vecteurs.

Il existe deux sortes de champs :

  • ceux qui regroupent des nombres, températures, pressions… et que l’on nomme « champs scalaires». Par exemple les cartes météorologiques des températures et des pressions sur la France.
  • Ceux qui regroupent des vecteurs et que l’on nomme « champs vectoriels». Par exemple les cartes météorologiques sur la vitesse du vent ou encore la répartition de la force d’attraction d’un aimant autour de celui-ci.

Dès qu’il faut traiter un grand nombre de données dans un milieu continu, on utilise la notion de champ. C’est particulièrement vrai pour les phénomènes électromagnétiques.

Les sources de champs électromagnétiques nous entourent au quotidien : lignes électriques (ondes basses fréquences), antennes relais de téléphonie, de télévision, de radio, boitiers Wifi (ondes hertziennes), radiateurs, fours, télécommandes  (ondes infrarouges), sources de lumière (domaine visible)…

Tous ces champs sont devenus indispensables à notre mode de vie, mais ils correspondent à une certaine tension par mètre et on continue à s’interroger sur la nocivité de certaines d’entre eux sur notre santé.

Avec un smartphone, qui possède généralement un capteur de champ magnétique, il est par exemple possible d’effectuer une cartographie du champ magnétique autour d’un aimant, comme ceux des hauts-parleurs d’une chaîne hi-fi par exemple.

Les champs électrostatiques ont des lignes de champs qui rayonnent autour d’eux et peuvent voir leurs vecteurs pointer vers eux ou à leur opposé, en fonction de leur charge.

Les masses créent aussi des champs, nommées champ de gravitation, qui ont des vecteurs toujours orientés vers la masse car la gravitation est une force attractive.

Champs uniformes

Les champs uniformes sont des champs dont les caractéristiques sont les mêmes dans tout l’espace considéré.

Ce sont généralement des cas particuliers qui ne sont valables que dans des espaces réduits, mais qui permettent de simplifier certaines études. Par exemple à l’intérieur d’un solénoïde (une bobine de fil conducteur dont la longueur est très supérieure au diamètre) les lignes de champ électrique sont parallèles :

On voit ici que les traits rouges représentent le champ électrique uniforme à l’intérieur d’un solénoïde.

Champ électrostatique

Quand une particule chargée est placée dans un champ électrostatique, elle est soumise à une force électrostatique qui est définie de la façon suivante :

\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{e}}=\mathrm{q}_{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}

Avec E, le champ électrostatique défini par :

\overrightarrow{\mathrm{E}}=\mathrm{k} \times \frac{\mathrm{q}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d}^{2}} \times \overrightarrow{\mathrm{e}}

Unités :

  • E : Champ électrostatique (avec une flèche : vecteur ; sans flèche sa valeur) en Newton par Coulomb (N.C-1) ou en Volt par mètre (V.m-1) Ces deux unités étant équivalentes.
  • F : Force électrostatique qui s’exerce sur la particule. Sa valeur est en Newton (N)
  • q : Charge de la particule en Coulomb (C)
  • \vec{e}: est le vecteur unitaire porté par la droite AB (pour rester en vecteur dans l’équation)

N’oubliez pas que tous les vecteurs possèdent une direction (la droite sur laquelle se trouve leur flèche), un sens (deux sens possibles par direction) et une valeur.

Ici, le champ électrostatique ne dépend pas de la charge de la particule (qui sert en quelque sorte à « détecter le champ ») mais dépend du lieu où se trouve l’objet qui l’émet.

Champ magnétique terrestre

L’intérieur de la Terre est constitué de masses métalliques en mouvement qui génèrent un gigantesque champ magnétique en constituant un aimant géant. C’est ce champ magnétique qui est à l’origine de l’attraction de nos boussoles et qui a permis aux navigateurs d’arpenter les océans avant l’avènement du GPS.

On peut modéliser ce champ comme celui créé par un aimant droit qui serait situé au centre de la Terre, mais dont les pôles magnétiques Nord et Sud ne sont pas alignés avec les pôles géographiques. L’angle que fait cet « aimant » avec l’axe géographique nord sud est nommé inclinaison et varie au cours du temps. Actuellement l’angle entre l’axe géomagnétique et l’axe de rotation de la Terre sur elle-même est de 11,5°.

Il faut également noter (voir illustration ci-dessus) que le pôle magnétique situé au plus près du pôle géographique nord est un pôle magnétique sud et inversement pour le pôle sud géographique. C’est la raison pour laquelle le pôle géomagnétique situé dans l’hémisphère nord attire le pôle nord d’un aimant (pour les aimants les pôles opposés s’attirent et ceux de même nature se repoussent). L’aimant va s’aligner sur les lignes de champ magnétique terrestre.

Champ de pesanteur local et gravitation

La force de gravitation exercée par un objet A sur un autre objet B dépend de la masse de ces deux objets et de la distance d qui les sépare selon la relation de Newton :

F=\frac{G \times m_{A} \times m_{B}}{d^{2}}

Pour un objet situé à la surface de la Terre, cette relation peut donc s’écrire :

F=\frac{G \times m \times m_{T}}{R_{T}^{2}}

On peut définir un champ vectoriel de gravitation noté \vec{G} par la relation :

\vec{G}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{m}

D’après la relation précédente, le champ de pesanteur \vec{G}  a donc pour valeur :

\mathcal{G}=\frac{G \times m_{T}}{R_{T}^{2}}

Ce champ de pesanteur dépend du lieu où se trouve l’objet mais pas de sa masse.

Le poids d’un objet peut être assimilé à la force de gravitation de la Terre sur cet objet : \overrightarrow{\mathbf{P}}=\overrightarrow{\mathbf{F}}

Si on fait abstraction de la rotation de la Terre, de l’attraction gravitationnelle du Soleil… on peut dire que le champ de pesanteur est égal au champ de gravitation.

Ce champ de pesanteur, noté \vec{G} est défini par :

\vec{g}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{P}}}{m} \text { avec pour valeur }: g=\frac{P}{m}

Où P est le poids (au sens de force) de l’objet et m sa masse. Ce champ de pesanteur est verticale et dirigé vers le bas.

Si on considère que la masse de la Terre est d’environ 5,97.1024 kg et que son rayon est égal à 6371 km environ, on peut en déduire que :

g=\frac{G \times m_{T}}{R_{T}^{2}}=\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \times 5,97 \cdot 10^{24}}{\left(6371 \cdot 10^{3}\right)^{2}}=9,81 N \cdot kg^{-1}

Cette valeur est appelée intensité de la pesanteur moyenne de la Terre.

Pour une petite région on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme et constitué de lignes de champs parallèles :

 

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